\section{行列式按一行(列) 展开}

\begin{frame}{行列式按一行(列) 展开}
在 \S4 我们看到，对于 $n$ 阶行列式，有
\[
  \begin{vmatrix}
  a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n}  \tag{1}\\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix}=a_{i 1} A_{i 1}+a_{i 2} A_{i 2}+\cdots+a_{i n} A_{i n}, \quad i=1,2, \cdots, n .
\]
现在就来研究这些 $A_{i j}$ ($i, j=1,2, \cdots, n$) 究竟是什么， 并用以将 $n$ 阶行列式的计算降为较低阶的行列式的计算。

\pause
我们知道，三阶行列式可以通过二阶行列式表示：
\[
  \begin{vmatrix}
  a_{11} & a_{12} & a_{13}  \tag{2}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33}
\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{vmatrix} .
\]
\pause
与此相仿， $A_{i j}$ 也是一些带有正、负号的 $n-1$ 阶行列式。 为了说明这一点，我们引入
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{definition}%定义7 
  在行列式
\[
  \begin{vmatrix}
  a_{11} & \cdots & a_{1 j} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & & \vdots & & \vdots \\
a_{i 1} & \cdots & a_{i j} & \cdots & a_{i n} \\
\vdots & & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & \cdots & a_{n j} & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix}
\]
中划去元素 $a_{i j}$ 所在的第 $i$ 行与第 $j$ 列，剩下的 $(n-1)^{2}$ 个元素按原来的排法构成一个 $n-1$ 阶的行列式
\[
  \begin{vmatrix}
  a_{11} & \cdots & a_{1, j-1} & a_{1, j+1} & \cdots & a_{1 n}  \tag{3}\\
\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1, j-1} & a_{i-1, j+1} & \cdots & a_{i-1, n} \\
a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1, j-1} & a_{i+1, j+1} & \cdots & a_{i+1, n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & \cdots & a_{n, j-1} & a_{n, j+1} & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix}
\]
称为元素 $a_{i j}$ 的\emph{余子式}， 记为 $M_{i j}$.
\end{definition}
\end{frame}

\begin{frame}
按这个定义， (2) 可以改写为
\[
  \begin{vmatrix}
  a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}=a_{11} M_{11}-a_{12} M_{12}+a_{13} M_{13} .
\]

\pause
下面就来证明
\begin{observation*}
  \begin{equation*}
    A_{i j}=(-1)^{i+j} M_{i j}. \tag{4}
\end{equation*}
\end{observation*}

\pause
\begin{definition}%定义8 
  上面所提到的 $A_{i j}$ 称为元素 $a_{i j}$ 的\emph{代数余子式}。
\end{definition}

\pause
这样， 公式 (1) 就是说， 行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和。 

\end{frame}


%为此，我们先由行列式的定义证明 $n$ 阶与 $n-1$ 阶行列式的下面这个关系：
%\[
%\begin{vmatrix}
%a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1, n-1} & a_{1 n}  \tag{5}\\
%a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2, n-1} & a_{2 n} \\
%\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
%a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1, n-1} & a_{n-1, n} \\
%0 & 0 & \cdots & 0 & 1
%\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
%a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1, n-1} \\
%a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2, n-1} \\
%\vdots & \vdots & & \vdots \\
%a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1, n-1}
%\end{vmatrix} .
%\]
%事实上，(5) 式左端行列式的展开式
%\[
%\sum_{j_{1} j_{2} \cdots j_{n-1} j_{n}}(-1)^{\tau\left(j_{1} j_{2} \cdots j_{n-1} j_{n}\right)} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \cdots a_{n-1, j_{n-1}} a_{n j_{n}}
%\]
%中只有 $j_{n}=n$ 的项才可能不为零，而 $a_{n n}=1$, 因此左端为
%\[
%\sum_{j j_{2} \cdots j_{n-1}}(-1)^{\tau\left(j_{1} j_{2} \cdots j_{n-1} n\right)} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \cdots a_{n-1, j_{n-1}} .
%\]
%显然 $j_{1} j_{2} \cdots j_{n-1}$ 是 $1,2, \cdots, n-1$ 的排列，且
%\[
%\tau\left(j_{1} j_{2} \cdots j_{n-1} n\right)=\tau\left(j_{1} j_{2} \cdots j_{n-1}\right) .
%\]
%这就证明了 (5).
%
\begin{frame}
\begin{proof*}[观察的证明]
为了证明 (4), 在 (1) 中令
\[
a_{i 1}=\cdots=a_{i, j-1}=a_{i, j+1}=\cdots=a_{i n}=0, \quad a_{i j}=1,
\]
\pause
即得
  \[\begin{aligned}
       A_{i j}&= \begin{vmatrix}
      a_{11} & \cdots & a_{1, j-1} & a_{1 j} & a_{1, j+1} & \cdots & a_{1 n} \\
    \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
  a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1, j-1} & a_{i-1, j} & a_{i-1, j+1} & \cdots & a_{i-1, n} \\
0 & \cdots & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1, j-1} & a_{i+1, j} & a_{i+1, j+1} & \cdots & a_{i+1, n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & \cdots & a_{n, j-1} & a_{n j} & a_{n, j+1} & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix} \\
\pause
& \overset{\circled{1}}{=}(-1)^{n-i}\begin{vmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1, j-1} & a_{1 j} & a_{1, j+1} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1, j-1} & a_{i-1, j} & a_{i-1, j+1} & \cdots & a_{i-1, n} \\
a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1, j-1} & a_{i+1, j} & a_{i+1, j+1} & \cdots & a_{i+1, n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & \cdots & a_{n, j-1} & a_{n j} & a_{n, j+1} & \cdots & a_{n n} \\
0 & \cdots & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0
\end{vmatrix}
\end{aligned}
\]
\end{proof*}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{proof*}[观察的证明 (续)]
  \[\begin{aligned}
      \phantom{A_{i j}}& \overset{\circled{2}}{=}(-1)^{(n-i)+(n-j)}\begin{vmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1, j-1} & a_{1, j+1} & \cdots & a_{1 n} & a_{1 j} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1, j-1} & a_{i-1, j+1} & \cdots & a_{i-1, n} & a_{i-1, j} \\
a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1, j-1} & a_{i+1, j+1} & \cdots & a_{i+1, n} & a_{i+1, j} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{n 1} & \cdots & a_{n, j-1} & a_{n, j+1} & \cdots & a_{n n} & a_{n j} \\
0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1
\end{vmatrix} \\
\pause
& \overset{\circled{3}}{=}(-1)^{2 n-(i+j)} M_{i j}=(-1)^{i+j} M_{i j} .
\end{aligned}
\]
这里， \circled{1} 是依次地把第 $i$ 行与它下边的一行对换， 
直到把它换到第 $n$ 行为止， 这样一共换了 $n-i$ 次， 
因之行列式差一个符号 $(-1)^{n-i}$;
\circled{2} 是同样地把第 $j$ 列换到第 $n$列; 
\circled{3} 利用了准上三角形行列式的公式与显然的关系 $(-1)^{2 n-(i+j)}=(-1)^{i+j}$. 
\end{proof*}
\end{frame}




\begin{frame}


在 (1) 中， 如果令第 $i$ 行的元素等于另外一行， 譬如说， 第 $k$ 行的元素， 也就是
\[
a_{i j}=a_{k j}, \quad j=1, \cdots, n, k \neq i .
\]
\pause
于是
\[
  a_{k 1} A_{i 1}+\cdots+a_{k n} A_{i n}=   \raisebox{-5em}{\begin{tikzpicture}
      \matrix (m) [matrix of math nodes, nodes in empty cells, ampersand replacement=\&, left delimiter=(,right delimiter=)]
    {
  a_{11} \& \cdots \& a_{1 n} \\
\vdots \& \& \vdots \\
a_{k 1} \& \cdots \& a_{k n} \\
\vdots \& \& \vdots \\
a_{k 1} \& \cdots \& a_{k n} \\
\vdots \& \& \vdots \\
a_{n 1} \& \cdots \& a_{n n}\\
};
\node[right=of m-3-3,xshift=-2em] (m53) {第$k$行};
\node[right=of m-5-3,xshift=-2em] (m53) {第$i$行};
\end{tikzpicture}}.
\]
\pause
右端的行列式含有两个相同的行， 应该为零， 这就是说， 在行列式中， \emph{一行的元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为零}。

\pause
\begin{exercise}
  \[
    \begin{aligned}
      b_1 A_{i1} + b_2 A_{i2} + \cdots + b_n A_{in}&= ?\\
      b_1 A_{1j} + b_2 A_{2j} + \cdots + b_n A_{nj}&= ?\\
    \end{aligned}
  \]
\end{exercise}
\pause
基于行列式中行与列的对称性，在以上的公式和讨论中把行换成列也一样。 综上所述，即得
\end{frame}

\begin{frame}



\begin{theorem}%定理3 
设
\[
  d=\begin{vmatrix}
  a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{vmatrix},
\]
$A_{i j}$ 表示元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，则下列公式成立：
\begin{align*}
  a_{k 1} A_{i 1}+a_{k 2} A_{i 2}+\cdots+a_{k n} A_{i n} & = \begin{cases}d, & k=i, \\
0, & k \neq i ;\end{cases}  \tag{6}\\
a_{1l} A_{1 j}+a_{2l} A_{2 j}+\cdots+a_{n l} A_{n j} & = \begin{cases}d, & l=j, \\
0, & l \neq j .\end{cases} \tag{7}
\end{align*}
\pause
用连加号简写为
\[
  \begin{aligned}
    & \sum_{s=1}^{n} a_{k s} A_{i s}= \begin{cases}d, & k=i, \\
  0, & k \neq i ;\end{cases} \\
  & \sum_{s=1}^{n} a_{s l} A_{s j}= \begin{cases}d, & l=j, \\
0, & l \neq j .\end{cases}
\end{aligned}
\]
\end{theorem}
\end{frame}


\begin{frame}

\begin{example}%例1 
行列式
\[
  \begin{aligned}
    \begin{vmatrix}
    5 & 3 & -1 & 2 & 0 \\
  1 & 7 & 2 & 5 & 2 \\
0 & -2 & 3 & 1 & 0 \\
0 & -4 & -1 & 4 & 0 \\
0 & 2 & 3 & 5 & 0
\end{vmatrix} 
\pause
& \overset{\circled{1}}{=} (-1)^{2+5} 2\begin{vmatrix}
5 & 3 & -1 & 2 \\
0 & -2 & 3 & 1 \\
0 & -4 & -1 & 4 \\
0 & 2 & 3 & 5
\end{vmatrix}\overset{\circled{2}}{=} -2 \times 5\begin{vmatrix}
-2 & 3 & 1 \\
-4 & -1 & 4 \\
2 & 3 & 5
\end{vmatrix} \\
\pause
& \overset{\circled{3}}{=} -10\begin{vmatrix}
-2 & 3 & 1 \\
0 & -7 & 2 \\
0 & 6 & 6
\end{vmatrix} \\
\pause
& \overset{\circled{4}}{=} 20(-42-12)=-1080 .
\end{aligned}
\]
这里 \circled{1} 是按第 5 列展开，
\circled{2}  是按第 1 列展开，
\circled{3} 用了初等变换 $r_2-2r_1, r_3+r_1$,
\circled{4} 是按第 1 列展开（或用准上三角形行列式的公式），
最终归结到一个二阶行列式的计算。
\end{example}

\end{frame}



\begin{frame}
在 $n=3$ 时，公式 (6) 有明显的几何意义。如果把行列式的行看作向量在直角坐标系下的坐标， 即设
\[
 \alpha_{1}=\left(a_{11}, a_{12}, a_{13}\right), \quad  \alpha_{2}=\left(a_{21}, a_{22}, a_{23}\right), \quad  \alpha_{3}=\left(a_{31}, a_{32}, a_{33}\right),
\]
\pause
那么
\[
 \alpha_{2} \times  \alpha_{3}=\left(A_{11}, A_{12}, A_{13}\right) .
\]
\pause
于是
\[
  \begin{aligned}
  & a_{11} A_{11}+a_{12} A_{12}+a_{13} A_{13}= \alpha_{1} \cdot\left( \alpha_{2} \times  \alpha_{3}\right), \\
& a_{21} A_{11}+a_{22} A_{12}+a_{23} A_{13}= \alpha_{2} \cdot\left( \alpha_{2} \times  \alpha_{3}\right)=0, \\
& a_{31} A_{11}+a_{32} A_{12}+a_{33} A_{13}= \alpha_{3} \cdot\left( \alpha_{2} \times  \alpha_{3}\right)=0 .
\end{aligned}
\]
\pause
在计算数字行列式时， 直接应用展开式 (6) 或 (7) 不一定能简化计算， 因为把一个 $n$ 阶行列式的计算换成 $n$ 个 $n-1$ 阶行列式的计算并不减少计算量， 只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用公式 (6) 或 (7) 才有意义。但这两个公式在理论上是重要的。

\end{frame}


%\begin{example}%例3 
%证明：
%\[
%\begin{vmatrix}
%a_{11} & \cdots & a_{1 k} & 0 & \cdots & 0  \tag{9}\\
%\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
%a_{k 1} & \cdots & a_{k k} & 0 & \cdots & 0 \\
%c_{11} & \cdots & c_{1 k} & b_{11} & \cdots & b_{1 r} \\
%\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
%c_{r 1} & \cdots & c_{r k} & b_{r 1} & \cdots & b_{r r}
%\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
%a_{11} & \cdots & a_{1 k} \\
%\vdots & & \vdots \\
%a_{k 1} & \cdots & a_{k k}
%\end{vmatrix}\begin{vmatrix}
%b_{11} & \cdots & b_{1 r} \\
%\vdots & & \vdots \\
%b_{r 1} & \cdots & b_{r r}
%\end{vmatrix} .
%\]
%我们对 $k$ 用数学归纳法。
%
%当 $k=1$ 时，(9) 的左端为
%\[
%\begin{vmatrix}
%a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
%c_{11} & b_{11} & \cdots & b_{1 r} \\
%\vdots & \vdots & & \vdots \\
%c_{r 1} & b_{r 1} & \cdots & b_{r r}
%\end{vmatrix} .
%\]
%按第一行展开， 就得到所要的结论。
%
%假设 (9) 对 $k=m-1$, 即左端行列式的左上角是 $m-1$ 阶时已经成立， 现在来看 $k=m$的情形， 按第一行展开， 有
%\[
%\begin{aligned}
%& \begin{vmatrix}
%a_{11} & \cdots & a_{1 m} & 0 & \cdots & 0 \\
%\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
%a_{m 1} & \cdots & a_{m m} & 0 & \cdots & 0 \\
%c_{11} & \cdots & c_{1 m} & b_{11} & \cdots & b_{1 r} \\
%\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
%c_{r 1} & \cdots & c_{r m} & b_{r 1} & \cdots & b_{r r}
%\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix}
%a_{22} & \cdots & a_{2 m} & 0 & \cdots & 0 \\
%\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
%a_{m 2} & \cdots & a_{m m} & 0 & \cdots & 0 \\
%c_{12} & \cdots & c_{1 m} & b_{11} & \cdots & b_{1 r} \\
%\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
%c_{r 2} & \cdots & c_{r m} & b_{r 1} & \cdots & b_{r r}
%\end{vmatrix}+\cdots \\
%& +(-1)^{1+i} a_{1 i}\begin{vmatrix}
%a_{21} & \cdots & a_{2, i-1} & a_{2, i+1} & \cdots & a_{2 m} & 0 & \cdots & 0 \\
%\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
%a_{m 1} & \cdots & a_{m, i-1} & a_{m, i+1} & \cdots & a_{m m} & 0 & \cdots & 0 \\
%c_{11} & \cdots & c_{1, i-1} & c_{1, i+1} & \cdots & c_{1 m} & b_{11} & \cdots & b_{1 r} \\
%\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
%c_{r 1} & \cdots & c_{r, i-1} & c_{r, i+1} & \cdots & c_{r m} & b_{r 1} & \cdots & b_{r r}
%\end{vmatrix} \\
%& +\cdots+(-1)^{1+m} a_{1 m}\begin{vmatrix}
%a_{21} & \cdots & a_{2, m-1} & 0 & \cdots & 0 \\
%\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
%a_{m 1} & \cdots & a_{m, m-1} & 0 & \cdots & 0 \\
%c_{11} & \cdots & c_{1, m-1} & b_{11} & \cdots & b_{1 r} \\
%\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
%c_{r 1} & \cdots & c_{r, m-1} & b_{r 1} & \cdots & b_{r r}
%\end{vmatrix}
%\end{aligned}
%\]
%\begin{center}
%\includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_04_06_e740b7f41d247614d5b5g-22}
%\end{center}
%\[
%\begin{aligned}
%& \left.+\cdots+(-1)^{1+m} a_{1 m} \left\lvert\, \begin{array}{ccc}
%a_{21} & \cdots & a_{2, m-1} \\
%\vdots & & \vdots \\
%a_{m 1} & \cdots & a_{m, m-1}
%\end{array}\right.\right]\begin{vmatrix}
%b_{11} & \cdots & b_{1 r} \\
%\vdots & & \vdots \\
%b_{r 1} & \cdots & b_{r r}
%\end{vmatrix} \\
%= & \begin{vmatrix}
%a_{11} & \cdots & a_{1 m} \\
%\vdots & & \vdots \\
%a_{m 1} & \cdots & a_{m m}
%\end{vmatrix}\begin{vmatrix}
%b_{11} & \cdots & b_{1 r} \\
%\vdots & & \vdots \\
%b_{r 1} & \cdots & b_{r r}
%\end{vmatrix} .
%\end{aligned}
%\]
%这里第二个等号是用了归纳法假定，最后一步是根据按一行展开的公式。
%
%根据归纳法原理，(9) 式普遍成立。 
%\end{example}


\begin{frame}{小结}
  \begin{enumerate}
    \item 何为行列式中元素的余子式？何为代数余子式？
    \item 说说行列式按一行（列）展开的公式。
    \item $k\neq i$时把第$k$行（列）的元素依次跟第$i$行（列）的元素的代数余子式相乘得到什么？
    \item 如何有效地应用行列式按一行（列）展开来计算行列式？
  \end{enumerate}
\end{frame}
